Fondamenti della meccanica atomica
e la (32) dà per i coefficienti l' espressione
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ottenere scrivendo Δλ in luogo di dλ nella espressione da integrare: ciò vale però soltanto per valori finiti di x (come si vede dall'espressione (41) poichè
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formula che si identifica con la (53), purchè si ponga . Con queste sostituzioni la (54) ci fornisce allora per A la seguente espressione:
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è sempre > O. Sviluppando questa espressione si ha
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Sostituendo nella (69) l'espressione così trovata per l'integrale rispetto a k, essa diviene
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Si vede subito allora che l'espressione di W diviene
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dove per E si può porre l'espressione (121).
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Integrando, si ha dunque per E(v) l'espressione lineare
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In definitiva l'espressione dell'indice di rifrazione che assicura l'identità completa dei due movimenti è
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Se ora introduciamo l'espressione (126) di N nell'equazione generale (108') cui soddisfa la , troviamo l'equazione:
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È questa l'espressione cercata per la densità di flusso (probabilistica).
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Dobbiamo anzitutto calcolare la al tempo t, mediante la (154), che, introducendovi l'espressione (166) e ponendo per brevità
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Per calcolare questa espressione conviene trattare separatamente i due casi di e :
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che dà per il coefficiente di trasmissione , e quindi per il numero di elettroni emessi, proprio l'espressione suggerita dai dati sperimentali.
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espressione del principio di indeterminazione per una particella nello spazio.
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Essi possono anche venir definiti mediante la derivata l-esima dell'espressione : difatti si ha
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Così, affinchè sia anche normalizzata (rispetto alla variabile x), basterà prendere per essa l'espressione
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Si osservi che con la (267) l'espressione (256) di diviene
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Ecco l'espressione esplicita dei primi polinomi di Laguerre:
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cosicchè l'espressione esplicita di in funzione di r è la seguente (dove si è posta per l'espressione (268), per mettere in evidenza la sua
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La (285), insieme con l'espressione già trovata (v. form. 245 e 246) per , ci permette di scrivere l' espressione completa dell'autofunzione
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In tal caso si ha dalla espressione di e dalla (218):
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cui corrispondono altrettante inclinazioni del piano dell'orbita. L'esistenza di queste inclinazioni discrete si designa spesso con l'espressione
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Sostituendo nella (318) questa espressione di , e la, (329) per p, si ottiene per l'espressione (dipendente solo da n)
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e, ponendo per l'espressione (316), si ottiene:
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espressione coincidente con quella già trovata per l'orbita circolare n-esima nella teoria di Bohr (v. § 16, p. I).
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dove si è posto (in analogia con la espressione della costante di Rydberg data al § 16, p. I):
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l'espressione precedente diviene
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dal § 31 l'espressione (137) della densità media di corrente elettrica j, e sostituiamovi per l'espressione trovata al § 46 per l'elettrone soggetto ad
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e quindi, sostituendo nell'espressione di X, questa diventa una serie doppia
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Ciò posto, dalla (30) e dalla (32) si ricava per le nuove componenti l'espressione seguente (si badi alla (5')):
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Se ora per v si sostituisce l'espressione ricavata dalla (7), si ha, con facili trasformazioni
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Trasformiamo questa espressione in operatore, come si è fatto nel caso di una sola particella, sostituendo
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dove . Questa espressione è indipendente dalla scelta delle : prendendo come tali le funzioni , dove fa le veci dell'indice j (v. § 14), si ha
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Questa espressione si ottiene non dalla (105), ma dalla seguente (che algebricamente equivale a quella):
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Sostituendo la derivata di con la sua espressione (87) si ha (ricordando la (5')):
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e, indicando con l'operatore ottenuto dall' espressione di con l'operazione formale di derivazione rispetto a t (quindi se non contiene
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Considerando p. es. , osserviamo che la sua espressione in meccanica classica è
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Si deve partire, come nel § 22, dall'espressione analitica dell'osservabile G in funzione delle q e delle p, espressione che tiene luogo di
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Quindi nella (162) deve prendersi , e l'espressione degli autovalori dell'energia, diviene
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Nello sviluppare questa espressione si osservi che, per la (190) e la prima delle (182),
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Sostituendo con gli operatori corrispondenti , questa espressione si trasforma nell'operatore
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dall'espressione relativistica dell'hamiltoniana (anzichè dall'espressione classica come si è fatto al § 19) e la si trasformasse in operatore mediante la solita
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sostituendo questa espressione nella (255) si ha, con facile calcolo,
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la quale, introducendovi l'espressione di diviene
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Sostituendo queste derivate nella espressione di si ha
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o anche, esplicitando e ricordando l'espressione del magnetone di Bohr,
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da cui si vede che le sono ordinariamente piccole rispetto alle (ossia, sono piccole rispetto a ). Sostituendo nella (277) questa espressione di si
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Introduciamo ora per le la loro espressione approssimata (278'), che diviene nel caso attuale, utilizzando le (241) e (241'),
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Quindi le soluzioni F+ e G+ delle (346) avranno per espressione asintotica poichè si cercano soluzioni tendenti
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Accademia della crusca
